matematika dan rubik 2

Setelah menjelaskan hubungan rubik dengan matematika pada postingan sebelumnya Matematika dan Rubik (1), sekarang saya akan memandang rubik ini dari sudut pandang aljabar.

Dalam rubik ini ternyata terdapat yang namanya Group Theory (Teori Group) atau lebih tepatnya Grup Permutasi, selain itu ada juga Graph Theory dan Function.

Dalam membahas hubungan rubik dengan aljabar, kita butuhkan bantuan notasi-notasi rubik. Tentu semuanya sudah tahu notasi-notasinya. Notasi tersebut di ambil dari huruf depan sesuai nama nya dalam bahasa inggris, seperti Up = U, Down = D, Front = F, Back = B, Right = R dan Left = L. Selain itu dibutuhkan juga definisi dari grup itu sendiri.

Definisi Grup :

Himpunan tak hampa dengan operasi biner pada dikatakan grup jika memenuhi aksioma berikut :

1. Assosiatif
   

   a, b, c G kita mempunyai (a # b) # c = a # (b # c)
   
2. Identitas
   e G e # a = a # e = a, a G
   
3. Invers
   a G, a’ G a # a’ = a’ # a = e.
   

Dalam membuktikan grup, kita membutuhkan definisi grup dan sebarang move. Tapi disini saya tidak menjabarkan pembuktiannya karena terlalu panjang. Sebagai gantinya saya berikan contoh berikut :

Misal ingin dibuktikan notasi atau move F (front) adalah sebuah grup, maka harus dibuktikan sifat-sifat berdasarkan definisi diatas. Misal ingin dibuktikan grup A = { F, F², F³, F⁴ }

1. Sifat tertutup
   

   F G, ketika dioperasikan F # F = F², dengan F² G
   
2. Asosiatif
   

   (F # F) # F = F² # F = F³
   

   F # (F # F) = F # F² = F³
   

   Sehingga (F # F) # F = F # (F # F)
   
3. Terdapat identitas
   

   Ambil F, F⁴ G dan F⁵ = F
   

   F # F⁴ = F⁵ = F
   

   dan
   

   F⁴ # F = F⁵ = F
   

   Dengan demikian F⁴ adalah identitas ( F⁴ = e )
   
4. Invers
   

   F # F³ = F³ # F = F⁴ = I
   

   Sesuai dengan operasi diatas, maka F³ adalah invers dari F ( F³ = F^‘ )
   

Karena semua sifat Grup terpenuhi, maka A membentuk grup atau himpunan move F membentuk grup.

About these ads