Komposisi Fungsi

Komposisi Fungsi dikenal juga dengan penggandaan atau perkalian fungsi. Jika dua fungsi digandakan yaitu fungsi f dan fungsi g, ditulis g o f jika dan hanya jika kodomain f subset dari domain g. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

Definisi :

Misalkan f : A $\rightarrow$ B dan g : C $\rightarrow$ D adalah suatu fungsi sehingga R_f $\subseteq$ D_f. Komposisi Fungsi f dan g, dengan notasi g o f, didefinisikan dengan (g o f)(x) = g(f(x)), $\forall$ x $\epsilon$ D_f.

Apabila ditulis dalam bentuk diagram maka akan menjadi seperti digambar dibawah ini.

Secara sederhana bahwa (f o g)(x) ada jika range g (R_g) berada pada domain f (D_f) dan (g o f)(x) ada jika range f (R_f) berada pada domain g (D_g).

Contoh 1 :

Misalkan f : $\mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}$ dengan f(x) = 2x dan g : $\mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}$ dengan g(x) = x³. Apakah fungsi g o f dan dapat didefinisikan? Jika iya, tentukan formula g o f dan f o g.

Penyelesaian :

Kasus g o f

Karena R_f $\subseteq$ $\mathbb{R}$ = D_g maka komposisi fungsi g o f dapat didefinisikan dengan (g o f)(x) = g(f(x)) = g (2x) = (2x)³ = 8x³

Kasus f o g

Karena R_g $\subseteq$ $\mathbb{R}$ = D_f maka komposisi fungsi f o g dapat didefinisikan dengan (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x³) = 2x³

Contoh 2 :

Misalkan f : $\mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}$ dengan f(x) = 2x, g : $\mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}$ dengan g(x) = 3x dan h : $\mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}$ dengan h(x) = x³. Tentukan formula (f o g) o h dan f o (g o h).

Penyelesaian :

(f o g)(x) = f(g(x))

= f(3x)

= 2(3x)

= 6x

((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))

= (f o g)(x³)

= 6x³

(g o h)(x) = g(h(x))

= g(x³)

= 3x³

(f o (g o h))(x) = f((g o h)(x))

= f(g(h(x)))

= f(3x³)

= 2(3x³)

= 6x³

Dari Contoh 1 dan Contoh 2 diperoleh sifat-sifat Komposisi Fungsi sebagai berikut:

(g o f)(x) $\neq$ (f o g)(x) (tidak berlaku sifat komutatif)
((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x) (sifat asosisatif)

Untuk sifat yang kedua, perhatikan pembuktiannya.

Didefinisikan fungsi f, g dan h sebagai berikut, misalkan f : $\mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}$ , g : $\mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}$ dan h : $\mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}$ .

((f o g) o h)(x) = (f o g)(x) o h(x)

= f(g(x)) o h(x)

= f(g(h(x)))

= f((g o h)(x))

= f(x) o (g o h)(x)

= (f o (g o h))(x)

((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x) $\blacksquare$

Sumber :
Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.

About these ads

Tybrightsoftware

Komposisi Fungsi

0 Komentar untuk "Komposisi Fungsi "

About Me