Grup dalam rubik

Mungkin kalian sudah tahu bahwa terdapat hubungan antara rubik dan matematika, sebelumnya juga saya sudah posting tulisan sederhana tentang rubik dan matematika yaitu Matematika dan Rubik (1) dan Matematika dan Rubik (2). Tapi pada tulisan ini saya akan mencoba membuktikan bahwa kumpulan move pada rubik membentuk Grup (dalam tulisan ini adalah move rubik 2×2). Sebelumnya, akan diperkenalkan operasi dalam rubik. Secara umum, menurut definisi, grup memiliki operasi biner, misal dilambangkan oleh #. Tapi pada kasus rubik, operasi yang digunakan adalah ‘komposisi fungsi‘. Sebagian besar pada komposisi fungsi, jika ditulis M₁ # M₂ maka M₂ digerakkan terlebih dahulu kemudian diikuti oleh M₁, tapi pada diktat literatur standar Rubik’s Cube menyatakan bahwa jika ditulis M₁ # M₂ maka yang digerakkan terlebih dahulu adalah M₁ kemudian diikuti oleh M₂.

Sebelum lebih jauh, didefinisikan bahwa grup G adalah grup yang dibentuk oleh move M dalam rubik 2×2. Didefinisikan move M adalah kombinasi dari notasi-notasi dasar sebanyak berhingga atau dapat ditulis M = aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 aⁱⁿ dengan 1 i₁, i₂, i₃, …, i_n 4 dan a adalah notasi dasar rubik 2×2. Untuk membuktikan ini, kita punya teorema yang berbunyi.

Teorema

Jika G adalah himpunan semua move pada rubik 2×2, maka G membentuk grup.

Bukti :

Karena yang akan ditunjukkan bahwa sebarang move membentuk grup maka setiap move harus memenuhi ketiga sifat grup, yaitu assosiatif, terdapat identitas dan memiliki invers.

(i) Asosiatif

Akan dibuktikan (M₁ # M₂) # M₃ = M₁ # (M₂ # M₃) untuk M₁, M₂, M₃ sebarang. Sama artinya apabila dibuktikan (C)[(M₁ # M₂) # M₃] = (C)[M₁ # (M₂ # M₃)] untuk C anggota corner sebarang. Ambil M₁, M₂, M₃ є G sebarang dan C sebagai corner sebarang. Pandang (C)[(M₁ # M₂) # M₃] = ((C)(M₁ # M₂))M₃ = (((C)M₁)M₂)M₃ dan pandang (C)[M₁ # (M₂ # M₃)] = ((C)M₁)(M₂ #M₃)= (((C)M₁)M₂)M₃. Jadi, (M₁ # M₂) # M₃ = M₁ # (M₂ # M₃)

(ii) Identitas

Ambil e є G, dengan e sebagai identitas grup rubik yang dapat ditulis sebagai berikut e = a⁴ a⁴ … a⁴ a⁴ dan M є G sebarang move. Pandang e # M = a⁴ a⁴ … a⁴ a⁴ # aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 aⁱⁿ, jika diperhatikan untuk a⁴ yang ke – n maka a⁴ # aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 aⁱⁿ = aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 aⁱⁿ, kemudian untuk a⁴ yang ke – n-1 maka a⁴ # aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 aⁱⁿ = aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 aⁱⁿ , demikian seterusnya dilakukan sampai a⁴ yang pertama sehingga e # M = aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 aⁱⁿ = M. Dan dengan cara yangg sama berlaku juga untuk M # e = M. Jadi, M # e = e # M = M. Untuk selanjutnya e bisa ditulis menjadi e = a⁴.

(iii) Invers

Ambil M є G sebarang dan didefinisikan M’ = a^jn a^jn-1 … a^j2 a^j1 dan i + j = 4. Pandang M # M’ = e aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 aⁱⁿ # a^jn a^jn-1 … a^j2 a^j1 = a⁴ , perhatikan aⁱⁿ # a^jn = a⁴ a^{in + jn} = a⁴ sehingga menjadi aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 # a⁴ a^jn-1 … a^j2 a^j1 = a⁴, karena a⁴ a^jn-1 = a⁴ maka aⁱ¹ aⁱ² … a^in-1 # a^jn-1 … a^j2 a^j1 = a⁴ , selanjutnya perhatikan a^in-1 # a^jn-1 = a⁴ a^{in-1 + jn-1} = a⁴ sehingga menjadi aⁱ¹ aⁱ² … a^in-2 # a⁴ a^jn-2 … a^j2 a^j1 = a⁴, karena a⁴ a^jn-2 = a^jn-2 maka aⁱ¹ aⁱ² … a^in-2 # a^jn-2 … a^j2 a^j1 = a⁴, demikian seterusnya proses tersebut diulang sampai n kali sehingga diperoleh M’ = a^jn a^jn-1 … a^j2 a^j1 dengan i_n + j_n = 4 j_n = 4 – i_n , j_n-1 = 4 – i_n -1 , j_n-2 = 4 – i_n-2, …, j₂ = 4 – i₂, dan j₁ = 4 – i₁ sehingga dapat ditulis M # M’ = e. Dan dengan cara yang sama berlaku juga M’ # M = e. Jadi M # M’ = M’ # M = e dengan M’ adalah invers dari M.

Ketiga sifat grup terpenuhi

Selanjutnya, dari rubik 2×2, grup G juga merupakan grup permutasi. Menurut Teorema Fungsi bahwa fungsi memiliki invers jika dan hanya jika fungsinya bersifat satu-satu dan pada. Karena move rubik 2×2 merupakan grup G dan terjamin memiliki invers (Definisi Grup) maka move rubik 2×2 juga merupakan grup permutasi (Teorema Permutasi).

About these ads